Trilateralización

Tras que medir la distancia al emisor no diera el resultado deseado pensé en no escribir esta entrada, pero como puede ser útil y ya la tenia medio escrita he decidido terminarla.

Ya hemos visto cómo calcular (más o menos) la distancia a un emisor. Si conocemos la situación del emisor podemos situarnos en algún punto de una circunferencia de radio r1 (r1 es igual a la distancia al emisor). Si añadiéramos un segundo emisor de coordenadas conocidas y al que calculamos la distancia r2. Esto nos sitúa en una segunda circunferencia que corta a la primera en dos puntos. Ahora ya sabemos que estamos situados en uno de esos dos puntos. Para saber en cual exactamente necesitamos un tercer emisor cuya posición conozcamos y del que podamos calcular la distancia r3. Esta tercera circunferencia coincidirá con las otras dos en un solo punto. En la imagen se ve mejor

Trilateration.svg
De Braindrain0000 de la Wikipedia en inglés, CC BY-SA 3.0, Enlace

Ahora toca ponerlo todo en lenguaje matemático. En lugar de usar circunferencias vamos a usar esferas, los cálculos son los mismo y nos permite no tener los tres emisores y el receptor en el mismo plano. La ecuación de una esfera cuyo centro está en las coordenadas (a,b,c) es:

(x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 + (z ─ c) 2= r2

Esta ecuación representa a todos los puntos de la súperficie de una esfera. Cómo tenemos tres esferas que coinciden en un punto de sus superficies hay que buscar un punto (x,y,z) que cumpla las ecuaciones de las tres esferas.

Esfera1, vamos a ser amables con nosotros mismo y vamos a colocar esta esfera en el origen de coordenadas (0,0,0) por lo que su ecuación es:

x 2 + y 2 + z 2 = r12

Esfera2, también por simplificar nos la vida, colocamos el centro de esta esfera en línea con la anterior en las coordenadas (d,0,0). Su ecuación es:

(x – d)2 + y 2 + z 2 = r22

La tercer esfera la colocamos con el centro en el mismo plano pero con ambas coordenadas distintas.

(x – i)2 + (y – j) 2 + z 2 = r3

En el articulo de la wikipedia esta la resolución completa de las ecuaciones paso a paso, yo salto a la conclusión:

x = (r1 2 – r2 2 + d 2 ) / 2d

y = (r1 2 – r3 2 + i 2 + j 2) / 2j + (x * i / j)

z = √(r1 x 2 – y 2 )

Con estos cálculos ya tienes localizado el punto exacto. Desgraciadamente en la vida real las mediciones no suelen ser tan exactas por eso la mejor solución es detectar donde cortan dos circunferencias (por ejemplo la 1 con la 2 y la 1 con la 3) Buscar los puntos mas cercano y tomar el punto medo entre ambos, teniendo en cuenta que es una aproximación y que no será el punto exacto.

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