Usando matemáticas para decidir muchas veces acabas confiando en la esperanza, matemática se entiende. La esperanza no es un beneficio real, es una forma de estimar un posible beneficio, es lo que ganarías de media si se repite infinitas veces el proceso aleatorio.

Supongamos que participas en un sorteo de 1000€, han vendido solo 10 billetes. Así que tu billete tiene una esperanza de 100€….ahora bien. Intenta comprar algo con esos 100€ que según las matemáticas es el potencial beneficio de ese billete. Al final tienes 0€ o 1000€. El uso de la esperanza como un beneficio real es lo que hace que puedan surgir paradojas.

Paradoja de los dos sobres

Imagina que te dan un sobre, llamemosle 1 con una cantidad desconocida de dinero, indiquemosla como X. El sobre 2 tiene o el doble o la mitad que el 1. Es decir o 2X o X/2. Ahora nos piden elegir si cambiamos de sobre o no. ¿Qué es lo más provechoso? Sabemos que el sobre 1 contiene X, pero ¿Cuál es la esperanza del sobre 2?

1/2 * 2X + 1/2 * X/2 = 5X/4

Mientras que tu sobre tiene X dinero el otro sobre tiene una esperanza de 1,25X. Deberíamos coger el sobre 2. Así que eso haces. Ahora te ofrecen volver al sobre 1. Si lo piensas tú has elegido en sobre con la mitad o el doble de dinero que 1, pero eso significa que 1 tiene la mitad (si el 2 tiene el doble) o el doble (si el 2 tiene la mitad) que el tuyo…Un momento ¿Un sobre que tiene el doble o la mitad que el tuyo no es como ha empezado todo esto?. Efectivamente. Y si antes has cambiado, lo lógico sería volver a hacerlo ahora ¿No?. La esperanza es la misma, 1,25 veces lo que tenga tú sobre. Pero si lo cambias estarás en la misma situación que al principio y ya hemos visto que lo mejor era cambiarlo…..así que puedes estar cambiando sobres infinito número de veces.

Paradoja de San Petersburgo

Te ofrecen un juego de tirar una moneda. Si sale cara vuelves a tirar, si sale cruz se acaba la partida. Ganas 2^n euros. Siendo n el número de caras obtenidas. Veamos cual es la esperanza de beneficio. En este caso será la suma de la esperanza de cada tirada. Sabiendo que la probabilidad de ganar en la primera tirada es 1/2 (la probabilidad de salir cara), la de la segunda tirada es 1/2 * 1/2(dos caras seguidas), la tercera 1/21/21/2 y así consegutivamente:

Tirada 1 = 1/2 * 2^1 = 2/2 = 1
Tirada 2 = 1/21/2 * 2^2 = 4/4 = 1 Tirada n = (1/2^n) 2^n = 2^n/2^n = 1

La esperanza es la suma de todas las posibles tiradas….como todas son igual a 1 la esperanza es infinita. Luego te pidan lo que te pidan por participar sale rentable. Aunque te pidan un millón de euros es poco por la esperanza de ganar infinitos.

Aversión a la pérdida

Para este tipo de problemas se plantean varias soluciones, no todas posibles de implementar en código, pero yo voy a optar por usar una inspirada en dos mecanismos de los humanos. La aversión a la perdida o al riesgo. Suenan parecidos pero son distintos.

La aversión a la pérdida se podría definir como que se valora más lo que tienes que lo que puedes ganar. O lo que es lo mismo cuando has de comparar lo que puedes ganar con lo que puedes perder has de multiplicar la perdida por una variable que la incrementa. Además para simular el comportamienti humano esta variable ha de incrementarse conforme aumenta el valor de la cantidad que arriesgamos. Pongamos el caso de el tipico juego de tirar la moneda con una moneda justa (50% de que salga cara y 50% de que salga cruz). Si sale cara ganamos, si sale cruz perdemos. Si las condiciones son que si ponemos 1€ de apuesta podemos ganar 2€ la esperanza nos dice que da igual si jugamos o no:

(0.5 * 2) + (0.5 * 0) = 1

1 que es igual a la apuesta por lo que no hay esperanza de beneficio

Sin embargo con una adversion al riesgo de 1.1 la apuesta se multiplica por ese valor siendo 1.1 por lo que necesitamos una esperanza mayor.

Ya no jugariamos Por supuesto en este caso en que la perdida es tan solo 1€ muchos se plantearan jugar. Sin embargo si fueran 1000€ lo que nos jugamos, aunque el beneficio sea igualmente 1000€ habrá menos gente gente dispuesta a jugar. Esos se debe a que la aversión a la perdida crece con la cantidad que se va perder, no es siemrpe la misma. Para 1€ puede ser 1 pero para 1000€ puedes ser 100. De hecho en caso de cantidades muy pequeñas puede ser menor que 1. Ya que la perdida la consideramos despreciable y eso podría animarnos a correr ese riesgo.

Aversión al riesgo

Por otro lado la aversión al riesgo favorece la elección de las opciones más probables. Si la anterior aversión aplicaba según la cantidad «apostada», está aplica según la probabilidad de ganar. Es menor que 1 y a menor probabilidad menor será.

Siendo Ar la función que devuelve la aversión al riesgo. P la probabilidad y V el valor, la nueva esperanza seria:

Esp =∑ Pi * Vi * Ar(P)

Es importante tener en cuenta que se multiplica el valor y no la probabilidad. Si, ya sé que parece lo mismo, pero las probabilidades han de sumar 1.

El asno de Buridan

Por último un caso especial, no es un gran problema ya que estamos habituados a resolverlo, tan habituados que puede que ni nos demos cuenta de que existe.

La historia original habla de un asno hambriento que situado equidistante a dos pesebres idénticos muere de hambre por no saber por cual decidirse. O lo que en el caso de la I.A. sería un agente enfrentado a dos opciones con la misma esperanza no sabría cual decidir.

Elección irracional

El ejemplo más sencillo es que nos toque diseñar un agente que elige entre cara o cruz. ¿Qué es lo que hacemos habitualmente? Elegirla al azar. Esto es realizar una elección no racional. No hay ningún motivo para elegir una u otra así que dejamos al azar esa elección. Este mismo sistema nos puede servir cuando el valor de la esperanza no nos sirva de guía. Nada nos garantiza elegir la mejor opción pero nos permite no quedarnos congelados sin saber que elegir.