Si ajustar una metaheurísticas ya cuesta. ¿Por qué querríamos sufrir el doble para hacerlo con dos?. Hay varios motivos, el principal es que una metaheurística no se comportan bien en todo el espacio de soluciones del problema y por ello se usan varias.

Un caso es que una metaheurística se puede comportar muy bien para calcular parte de la solución pero no toda. Entonces algunos de sus valores los calcularemos usando una metaheurística dejando intactos aquellas partes de la solución para los que no funciona a los que posteriormente aplicaremos la segunda metaheurística que al igual que la anterior no alterará la parte para la que no funciona. Este proceso tiene que repetirse varias veces permitiendo que ambas partes evolucionen de forma conjunta.

Otro caso en que resulta útil aplicar una segunda metaheurística es cuando tenemos una que funciona muy bien explorando el espacio de soluciones y encontrando la zona donde se encuentra el máximo pero muy mal para precisar el valor de este. En ese caso se usa una metaheurística para acercarnos al máximo y cuando ha terminado aplicamos otra para precisar el resultado.

Ahora el problema es como combinar varias metaheurísticas ya que algunas funcionan con mutiles soluciones y otras con una sola.

Empezamos por el caso más intuitivo, el de que ambas metaheurísticas recurran a una población de varios individuos. Aquí las opciones son varias:

• Cada metaheurística se ejecuta de forma separa con sus propia población de soluciones y cada cierto tiempo se intercambian soluciones entre ellas.
• Ambas metaheurística actúan sobre las mismas soluciones y compiten entre ellas. Solo las mejores soluciones pasan a formar parte de la población
• Intercalar metaheurísticas. Aplicamos una durante varias iteracciones  una y luego iteramos varias veces con la otra.

Para el caso de combinar dos metaheurísticas que trabajan con un solo resultado todas las opciones se limitan a usar primero una y luego la otra. Este proceso puede repetirse varias veces o realizarse solo una vez.

Para el caso de combinar metaheurísticas con población y las que trabajan mejorando una única solución:  

• Tras cada ciclo de la metaheurística orientada a población se aplica la otra metaheurística a los individuos nuevos tratando de mejorarlos
• Otra opción es usar la metaheristica individual como función de modificación/creación de nuevo individuos.

Un ejemplo muy habitual de combinar metahurísticas es en el caso de los algoritmos genéticos, tras haber generado los nuevos individuos usando los operadores de mutación y/o cruce  y antes de que compitan con el resto de la población se trata de mejorar los nuevos individuos usando alguna metaheurísticas que explore el espacio cercano a cada individuo tratando de encontrar el máximo local.

Derivada

La derivada df de una función f es otra función que expresa la tasa de cambio de f. Por ejemplo si tenemos una función que calcula la velocidad en el punto X y calculamos su derivada tendremos una función que calcula la aceleración (cambio de la velocidad) en el punto X. Otra forma de entenderla es como la pendiente en un punto. Si calculamos la derivada de la función fitness en un punto tendremos una función que nos dice cuánto varía y si aumenta o disminuye. Es decir nos da una pista clara de en qué sentido hay que moverse para aumentar o disminuir el valor de la función.

Esto también quiere decir que si la pendiente es 0 ya estás en un máximo o en un mínimo. Si calculas todos los puntos donde la derivada es 0 seguro que uno de ellos es el máximo o el mínimo que estás buscando. Desgraciadamente en muchos casos no es sencillo hallar esos puntos.

Siendo una herramienta tan útil vamos a ver cómo calcularlo. A muchos os sonará de haberlo estudiado y haber tenido que memorizar un montón de derivadas y luego aprender reglas de derivación (por partes, cambio de variables,…) Incluso puede que tener pesadillas con ellas. Pero los ordenadores no saben hacer ese tipo de derivadas. Con ellos hay que recurrir derivadas numéricas que son mucho más simples.

df(x) = f(x+h) – f(x-h) / 2*h

¿Cuanto es h? Lo ideal es que sea una cantidad lo más pequeña posible. Pero ojo con cantidades muy pequeñas y la precisión numérica de los lenguajes de programación que puede dar sorpresa. Cómo se puede ver en el código más abajo yo he fijado el valor por defecto a 0,001.

this.epsilon = epsilon || 0.001;

this.diff = function(x, f){
  return (f(x+this.epsilon)-f(x-this.epsilon))/(this.epsilon*2);
}

Para ir más allá de la primera derivada también hay fórmulas para calcularla numéricamente que son más exactas que el método que vamos a usar nosotros pero en este caso me ha parecido más interesante el siguiente método.

Tenemos una función diff(x,f) que calcula la derivada de f en el punto x. Si hacemos diff(3,diff(3,f)) calcularíamos la segunda derivada de la función f en el punto 3. Para la tercera tendríamos que hacer diff(3,diff(3,diff(3,f))). Para las siguientes derivadas creo que ya habéis entendido como funciona.

En lugar de escribir todas las funciones una detrás de otra en una larga cadena vamos a usar una función que lo haga por nosotros. Siendo el parámetro n el número de derivada que calculará.

this.diffN = function(n, x, f){
  if(n == 1)
    return this.diff(x,f);
  else
    return this.diffN(n-1, x, function(x){return that.diff(x,f)});
}

Gradiente

Ya hemos visto como funciona la derivada para una función f(x) en un punto A, ahora os estaréis preguntando «¿Cómo funciona la derivada para una función con más variables como f(x1, x2)?» ¿A qué os he leído la mente?. Esta vez el punto donde se calcula tiene dos coordenadas [A,B]. Se calculan dos derivadas respecto de x1 y respecto de x2. Lo de «respecto» significa que solo se va a calcular modificando esa varíable, la otra será estática.

df(x1,x2)/dx1 = f(x1-h,x2)-f(x1+h,x2)/2*h

Es decir dejamos el resto de las «equis» inalteradas.

El gradiente es el cálculo de la derivada respecto a «cada equis». Es decir que

G = [df(x1,x2)/dx1, df(x1,x2)/dx2];

Podemos calcular el segundo, tercer,…. gradiente calculando la correspondiente derivada.

Nuestra función para calcular el gradiente usando la función anterior para calcular la derivada numérica queda así:

this.gradN = function(n, x, f){
  G = [];
  for(var i = 0; i < x.length; ++i){
    var auxX = x.slice(0);
    var fdx = function(x){auxX[i] = x; return f(auxX);}
    G.push(this.diffN(n, auxX[i], fdx));
  }
  return G;
}

Para que el uso sea más intuitivo vamos a hacer una versión del primer gradiente sin el parámetro n (n=1)

this.grad = function(x, f){
return this.gradN(1,x,f);
}

Puedes ver todo el código en este repositorio de github.